При роботі з найменшим спільним кратним зустрічаються особливі випадки, які варто запам'ятати для швидких обчислень. Зокрема, якщо одне число ділиться на інше без остачі, то НСК цих чисел дорівнює більшому числу. Наприклад, для чисел 24 і 12: оскільки 24 ділиться на 12, то
НСК(24; 12) = 24.
Особливо цікавими є взаємно прості числа – натуральні числа, найбільший спільний дільник яких дорівнює 1. Для таких чисел НСК дорівнює їхньому добутку. Так, НСК(8; 9) = 72, адже 8 = 2³, а 9 = 3², тому ці числа не мають спільних дільників крім 1.
Варто зазначити важливу математичну залежність: добуток НСК і НСД двох чисел завжди дорівнює добутку самих чисел. Тобто
НСК(a; b) × НСД(a; b) = a × b. Це співвідношення допомагає перевірити правильність обчислень або знайти НСК, якщо відомий НСД. Наприклад, для чисел 56 і 196: НСД(56; 196) = 28, тому НСК(56; 196) = (56 × 196) ÷ 28 = 392.
Розглянемо кілька практичних задач з НСК:
Задача про кроки: Довжина кроку батька становить 75 см, а сина – 50 см. Яку найменшу однакову відстань вони мають пройти, щоб обидва зробили ціле число кроків?
Розв'язання: 75 = 3 × 5², 50 = 2 × 5². НСК(75; 50) = 3 × 2 × 5² = 150 см.
Задача про мандарини: У ящику менше ніж 80 мандаринів. Їх можна поділити порівну між двома, трьома або п'ятьма дітьми, але не можна – між чотирма. Скільки мандаринів у ящику?
Розв'язання: Шукаємо число, яке ділиться на 2, 3 і 5 без остачі, тобто НСК(2; 3; 5) = 2 × 3 × 5 = 30. Перевіряємо: 30 ділиться на 2, 3 і 5, але не ділиться на 4, і 30 < 80.
Крім того, цікавими є випадки з послідовними числами – вони завжди взаємно прості, а тому їхнє НСК дорівнює їхньому добутку. Наприклад, НСК(12; 13) = 12 × 13 = 156.
У задачі про басейн: Марійка ходить до басейну раз на 3 дні, Юрко – раз на 4 дні, Петрик – раз на 5 днів. Вони зустрілися у вівторок. Наступного разу вони зустрінуться через НСК(3; 4; 5) = 60 днів, у суботу.