Акція тижня
Отримуй додаткові 48 уроків на платформі після оплати

Як знайти найменше спільне кратне? Що таке НСК в математиці

Чи знаєте ви, що найменше спільне кратне допомагає вирішити безліч практичних завдань у повсякденному житті? Наприклад, якщо батько робить крок довжиною 72 см, а його син — 54 см, то мінімальна відстань, яку вони повинні пройти, щоб зустрітися в одній точці, становить 216 см.
У математиці найменше спільне кратне (НСК) — це найменше число, яке ділиться на кожне з даних чисел без залишку. Щоб знайти НСК, ми використовуємо метод розкладання чисел на прості множники або формулу НСК(a, b) = |a × b| / НСД(a, b), де НСД — найбільший спільний дільник. Наприклад, НСК чисел 3 і 4 дорівнює 12, оскільки це найменше число, яке обидва числа можуть поділити рівно.

Крім того, НСК можна знайти не лише для двох, а й для будь-якої кількості натуральних чисел. Так, НСК чисел 18, 24 і 30 дорівнює 360. Особливо цікаво, що НСК двох взаємно простих чисел дорівнює їхньому добутку.

У цій статті ми детально розглянемо що таке НСК, чому воно важливе в математиці, різні методи його знаходження та наведемо корисні приклади для кращого розуміння цієї математичної концепції.
Бронюй курс в АнтиШколі до кінця тижня, щоб забронювати вартість пакету зі знижкою
Доступ до бібліотеки
Отримуй доступ до закритої бібліотеки АнтиШколи яку збирали 10 років
Персональний репетитор
Доведено: персональний супровід додає +30% до мотивації
Матеріали від топ-тічерів
Кожний курс заточений під конкретну потребу дитини
Індивідуальний акаунт на платформі з вправами та домашнім завданням
Підберемо курс під будь-яку Вашу потребу
Запишіться на безкоштовний демо-урок з математики, пройде у будь-який зручний час
відразу після реєстрації відправимо:

Що таке НСК і чому це важливо

Найменше спільне кратне (НСК) – це найменше натуральне число, яке ділиться без остачі на кожне з заданих чисел. На відміну від звичайних кратних, яких може бути нескінченна кількість, НСК має особливе значення в математиці через свою унікальність та практичне застосування.
Основні властивості НСК:
  • НСК не залежить від порядку чисел – НСК(a, b) = НСК(b, a)
  • НСК взаємно простих чисел дорівнює їхньому добутку
  • Для будь-яких натуральних чисел a і b виконується рівність: НСД(a;b)⋅НСК(a;b)=a⋅b
  • НСК можна обчислити для декількох чисел, групуючи їх парами
Важливість НСК складно переоцінити, адже воно застосовується у численних математичних операціях та повсякденних ситуаціях. Наприклад, при додаванні або відніманні дробів з різними знаменниками НСК допомагає знайти спільний знаменник. Це значно спрощує обчислення та робить математичні дії більш зрозумілими.

Крім того, НСК має суттєве значення при синхронізації циклічних процесів. Розглянемо приклад: два пароплави заходять у порт після кожного рейсу – перший через кожні 24 дні, а другий – через 16 днів. Щоб визначити, коли вони знову зустрінуться в порту, потрібно знайти НСК(24, 16) = 48 днів.

Зокрема, НСК застосовується для вирішення практичних задач, пов'язаних із відстанями. Наприклад, якщо довжина кроку батька становить 70 см, а сина – 50 см, то найменша однакова відстань, яку мають пройти обидва, щоб зробити ціле число кроків, дорівнює НСК(70, 50) = 350 см або 3,5 м.

Справді, НСК є фундаментальним поняттям у теорії чисел та алгебрі. Ця концепція допомагає вирішувати рівняння, спрощувати дроби та моделювати різноманітні періодичні процеси. Навички знаходження НСК необхідні не лише для розв'язання математичних задач, але й для кращого розуміння закономірностей у навколишньому світі.

Методи знаходження НСК

Існує декілька ефективних способів знаходження найменшого спільного кратного. Розглянемо найпоширеніші з них, які дозволять вам швидко та безпомилково обчислювати НСК чисел.

Метод розкладання на прості множники
Найпоширеніший та математично обґрунтований спосіб знаходження НСК — метод розкладання чисел на прості множники. Для цього потрібно:

  1. Розкласти кожне число на прості множники
  2. Виписати всі прості числа, які зустрічаються хоча б в одному з розкладів
  3. Кожне просте число взяти з найбільшим показником степеня, з яким воно входить у розклади
  4. Знайти добуток отриманих степенів
Наприклад, для чисел 12 і 15:
  • 12 = 2² × 3
  • 15 = 3 × 5
  • НСК(12; 15) = 2² × 3 × 5 = 60
Метод послідовних кратних
Простіший, але довший спосіб — виписати послідовно всі кратні кожного з чисел і знайти перше спільне:
Для чисел 3 і 4:
  • Кратні 3: 3, 6, 9, 12, 15, 18...
  • Кратні 4: 4, 8, 12, 16, 20...
  • Перше спільне: 12, тому НСК(3; 4) = 12
Використання формули з НСД
Швидкий спосіб знаходження НСК — через найбільший спільний дільник:
НСК(a; b) = |a × b| ÷ НСД(a; b)
Наприклад, для чисел 56 і 196:
  • НСД(56; 196) = 28
  • НСК(56; 196) = (56 × 196) ÷ 28 = 392
Особливі випадки
  1. Якщо числа взаємно прості (їхній НСД = 1), то НСК дорівнює їхньому добутку:
  • НСК(7; 23) = 7 × 23 = 161
  1. Якщо одне число ділиться на інше, то НСК дорівнює більшому числу:
  • НСК(12; 24) = 24, оскільки 24 ділиться на 12
  1. Для кількох чисел можна знаходити НСК попарно:
  • НСК(a; b; c; d) = НСК(НСК(a; b); НСК(c; d))
При знаходженні НСК для кількох чисел, зручно використовувати розклад на прості множники або обчислювати НСК послідовно для пар чисел.
Онлайн-калькулятор НСК також можуть бути корисними для перевірки результатів або швидких обчислень. У них достатньо ввести команду та числа, наприклад: lcm 27, 36.

Особливі випадки та приклади

При роботі з найменшим спільним кратним зустрічаються особливі випадки, які варто запам'ятати для швидких обчислень. Зокрема, якщо одне число ділиться на інше без остачі, то НСК цих чисел дорівнює більшому числу. Наприклад, для чисел 24 і 12: оскільки 24 ділиться на 12, то НСК(24; 12) = 24.

Особливо цікавими є взаємно прості числа – натуральні числа, найбільший спільний дільник яких дорівнює 1. Для таких чисел НСК дорівнює їхньому добутку. Так, НСК(8; 9) = 72, адже 8 = 2³, а 9 = 3², тому ці числа не мають спільних дільників крім 1.

Варто зазначити важливу математичну залежність: добуток НСК і НСД двох чисел завжди дорівнює добутку самих чисел. Тобто НСК(a; b) × НСД(a; b) = a × b. Це співвідношення допомагає перевірити правильність обчислень або знайти НСК, якщо відомий НСД. Наприклад, для чисел 56 і 196: НСД(56; 196) = 28, тому НСК(56; 196) = (56 × 196) ÷ 28 = 392.

Розглянемо кілька практичних задач з НСК:

Задача про кроки: Довжина кроку батька становить 75 см, а сина – 50 см. Яку найменшу однакову відстань вони мають пройти, щоб обидва зробили ціле число кроків?
Розв'язання: 75 = 3 × 5², 50 = 2 × 5². НСК(75; 50) = 3 × 2 × 5² = 150 см.

Задача про мандарини: У ящику менше ніж 80 мандаринів. Їх можна поділити порівну між двома, трьома або п'ятьма дітьми, але не можна – між чотирма. Скільки мандаринів у ящику?

Розв'язання: Шукаємо число, яке ділиться на 2, 3 і 5 без остачі, тобто НСК(2; 3; 5) = 2 × 3 × 5 = 30. Перевіряємо: 30 ділиться на 2, 3 і 5, але не ділиться на 4, і 30 < 80.

Крім того, цікавими є випадки з послідовними числами – вони завжди взаємно прості, а тому їхнє НСК дорівнює їхньому добутку. Наприклад, НСК(12; 13) = 12 × 13 = 156.

У задачі про басейн: Марійка ходить до басейну раз на 3 дні, Юрко – раз на 4 дні, Петрик – раз на 5 днів. Вони зустрілися у вівторок. Наступного разу вони зустрінуться через НСК(3; 4; 5) = 60 днів, у суботу.

Висновок

Отже, найменше спільне кратне – безперечно фундаментальне поняття в математиці, яке має численні практичні застосування. Ми розглянули різні методи знаходження НСК, від розкладання на прості множники до використання формули зв'язку з НСД. Зокрема, особливі випадки, як-от взаємно прості числа або послідовні натуральні числа, дозволяють швидко знаходити результат.

Загалом, НСК допомагає нам вирішувати широкий спектр задач – від простого додавання дробів з різними знаменниками до складніших практичних ситуацій із синхронізацією процесів чи вимірюванням відстаней. Нарешті, розуміння зв'язку між НСК і НСД через формулу НСК(a; b) × НСД(a; b) = a × b надає нам потужний інструмент для перевірки правильності обчислень.

Використовуючи знання про НСК, ми можемо ефективніше працювати з числами та розв'язувати математичні головоломки. Тому оволодіння методами знаходження найменшого спільного кратного – важлива навичка не лише для успішного вивчення математики, але й для застосування в повсякденному житті.

FAQs

Q1. Що таке найменше спільне кратне (НСК)? Найменше спільне кратне - це найменше натуральне число, яке ділиться без остачі на кожне з заданих чисел. Наприклад, НСК чисел 3 і 4 дорівнює 12.
Q2. Як знайти НСК двох чисел? Існує кілька методів: розкладання на прості множники, перелік кратних чисел, або використання формули НСК(a, b) = |a*b| / НСД(a, b). Найпоширеніший метод - розкладання на прості множники……

444 + 11111+ 5798+7599 = 50
Хочете нарешті, щоб дитина почала розуміти математику?
50 хвилин з професійним методистом, щоб визначити рівень, отримати корисний матеріал та рекомендації по навчанню, це повністю безкоштовно
⭐ 4.6 з 5
Google
⭐ 9.5 з 10
Enguide
⭐ 4.5 з 5
OTZOVIK-UA
_______
_______
_______

Останні матеріали:

Для дорослих
Допоможіть нам стати кращими:
Для дітей
Англійська:
Англійська:
Математика:
Наш контент
Скарги, пропозиції та відгуки надсилайте на електронну пошту antischool5a@ukr.net
або в Telegram: +380639599220.