Теорема Вієта та обернена до неї теорема — пояснюємо просто

Квадратні рівняння спочатку можуть трохи лякати. Багато знаків, формул і незрозумілих позначень. Але якщо розібратись, все стає набагато простіше. Є спеціальні правила, які допомагають знаходити відповіді швидко і без зайвих обчислень. Одне з таких — теорема Вієта. Вона дозволяє знайти корені рівняння, просто подивившись на числа в ньому. У цій статті покажемо, як це працює. І як вирішувати рівняння, коли відомі самі корені.
А ще є цікава річ — обернена до теореми Вієта. Вона працює навпаки: якщо корені відомі, можна швидко відновити саме рівняння.
Давайте розберемось покроково, як працює т. Вієта, як виглядає формула теореми Вієта, і як її використовувати без помилок.

Бронюй курс в АнтиШколі до кінця тижня, щоб забронювати вартість пакету зі знижкою

Доступ до бібліотеки

Отримуй доступ до закритої бібліотеки АнтиШколи яку збирали 10 років

Персональний репетитор

Доведено: персональний супровід додає +30% до мотивації

Матеріали від топ-тічерів

Кожний курс заточений під конкретну потребу дитини

Індивідуальний акаунт на платформі з вправами та домашнім завданням

Підберемо курс під будь-яку Вашу потребу

Запишіться на безкоштовний демо-урок з математики, пройде у будь-який зручний час

Записатись

відразу після реєстрації відправимо:

Що таке теорема Вієта?

Теорема Вієта — це спосіб знайти розв’язки зведеного квадратного рівняння виду:
x² + px + q = 0
Замість обчислення дискримінанта, ми дивимось на коефіцієнти p і q, та знаходимо такі два числа x₁ і x₂, що:

x₁ + x₂ = –p (це сума коренів квадратного рівняння),
x₁ × x₂ = q (це множення коренів або добуток).

Це і є формула Вієта — її ще називають формулою суми і добутку коренів, бо вона якраз про це.

Формула Вієта в дії: приклад розв’язання

Розглянемо конкретний приклад, у якому легко застосувати формулу теореми Вієта:
x² – 8x + 15 = 0
Шукаємо два числа, які:

у сумі дають 8 (бо –(–8) = 8),
у добутку — 15.
Очевидно, це 3 і 5.

Відповідь: x₁ = 3, x₂ = 5
Це найпростіший варіант використання т. Вієта, який чудово підходить для зведених квадратних рівнянь.

Обернена теорема Вієта: як відновити рівняння з коренів

А тепер — навпаки. Якщо вже відомі корені, можна легко скласти рівняння. Тут якраз і допомагає обернена теорема Вієта — вона працює у зворотний бік.
Приклад:
Нехай відомі корені: x₁ = 4, x₂ = 5

Сума: 4 + 5 = 9 → p = –9
Добуток: 4 × 5 = 20 → q = 20

Тоді рівняння має вигляд:
x² – 9x + 20 = 0
Це і є рівняння, коренями якого є 4 і 5.

Ще приклади на теорему Вієта

Наведемо ще кілька прикладів, які добре ілюструють, як працює формула Вієта:

Рівняння	Корені x₁ і x₂	Сума	Добуток
x² – 8x + 15 = 0	3 і 5	8	15
x² – 7x + 10 = 0	2 і 5	7	10
x² – 9x + 20 = 0	4 і 5	9	20

У всіх прикладах вієта формула чудово спрацьовує: усе зводиться до підбору двох чисел, які дають правильну суму й добуток.

Коли теорема Вієта не працює?

Формула Вієта працює тільки тоді, коли перед x² стоїть одиниця. Тобто рівняння має бути зведеним. Якщо ж перед x² якесь інше число — тоді треба бути уважнішим.
2x² – 5x + 3 = 0
його треба спочатку поділити на 2 (усі члени), щоб отримати:
x² – (5/2)x + (3/2) = 0
А отже, формула теореми Вієта буде менш зручною через дроби. У такому випадку краще скористатись класичним методом через дискримінант.

Навіщо взагалі вчити теорему Вієта?

Може здатися, що це просто ще одна тема з підручника. Але насправді теорема Вієта — дуже корисна річ. Ось чому:

Допомагає знаходити корені без складних обчислень.
Економить час на контрольних і тестах.
Часто зустрічається на ЗНО й ДПА.
Розвиває логіку й математичне мислення.
І просто зручна — усе видно з першого погляду.

Теорема Вієта допомагає знайти корені рівняння через їхню суму і добуток. А обернена теорема дозволяє скласти саме рівняння, якщо відомі корені. Але є нюанс: усе це працює тільки для зведених рівнянь, де перед x² стоїть одиниця. Метод простий, зручний і дуже економить час. Особливо, коли готуєшся до контрольної чи ЗНО.
Хочеш ще більше таких зрозумілих пояснень? Заходь у блог AntiSchool — тут математика перестає бути страшною.