Акція тижня
Отримуй додаткові 48 уроків на платформі після оплати

Ознаки рівності трикутниківЗагальні ознаки рівності трикутників

Лікнеп-інтенсив для дорослих

Пам’ять людини — чудернацька. Доросла людина може добре пам’ятати скільки існує ознак рівності трикутників (спойлер — три), але не пам’ятати:
  • які трикутники називаються рівними;
  • що таке ознака рівності трикутника;
  • властивості трикутників;
  • що таке прилеглі кути.
Тому спочатку лікнеп-інтенсив. Почнемо з того, що трикутник — це геометрична фігура на площині, що складається з трьох кутів та трьох сторін.
Прилеглий кут — це кут, що межує з названою стороною/сторонами. В підручниках ви знайдете академічне визначення: прилеглий кут — кут, що утворений даною стороною та іншою стороною з цією ж вершиною.
 Протилежний кут — це кут, що знаходиться навпроти названої сторони. Наприклад, кути А та В прилеглі до сторони АВ, а кут С — протилежний.
Рівними називають трикутники, якщо їх відповідні сторони та кути рівні. Так трикутник АВС рівний трикутнику А1В1С1, якщо АВ = А1В1, ВС = В1С1, АС = А1С1, а кути А, В та С рівні кутам А1, В1 та С1 відповідно.
Знання ознак рівності трикутників звільняє від необхідності вимірювати усі елементи трикутників (три сторони та три кути), або доводити кожного разу за допомогою логіки, що вони рівні.

Перша ознака рівності трикутників

Перша ознака рівності трикутників має формулювання: трикутники рівні, якщо дві сторони та кут між ними відповідно рівні. Тобто трикутник АВС рівний трикутнику А1В1С1, якщо АВ = А1В1, ВС = В1С1, а кут В рівний куту В1. Першу ознаку рівності трикутників також називають “ознака рівності за двома сторонами та кутом між ними”.
1 ознака рівності трикутників доводиться за допомогою конструювання: якщо ми візьмемо дві планки і поєднаємо їх під певним кутом, то довжина третьої планки та кути, під якими ми її кріпитемимо, вже однозначно визначені. Ми часто несвідомо використовуємо цю ознаку в повсякденному житті, наприклад, майструючи рамки для картини.
Перша ознака рівності — найбільш популярна в доведенні інших теорем (властивості рівнобедреного трикутника, властивості паралелограма та прямокутника). Учні додатково закріплюють цю ознаку, будуючи трикутники за заданими величинами двох сторін та кута між ними.

Бронюй курс в АнтиШколі до кінця тижня, щоб забронювати вартість пакету зі знижкою
Доступ до бібліотеки
Отримуй доступ до закритої бібліотеки АнтиШколи яку збирали 10 років
Персональний репетитор
Доведено: персональний супровід додає +30% до мотивації
Матеріали від топ-тічерів
Кожний курс заточений під конкретну потребу дитини
Індивідуальний акаунт на платформі з вправами та домашнім завданням
Підберемо курс під будь-яку Вашу потребу
Запишіться на безкоштовний демо-урок з математики, пройде у будь-який зручний час
відразу після реєстрації відправимо:

Друга ознака рівності трикутників

За другою ознакою рівності трикутників трикутники рівні, якщо у них відповідно рівні сторона та обидва прилеглі до неї кути. Трикутник АВС рівний трикутнику А1В1С1, якщо АВ = А1В1, а кути А та В рівні кутам А1 та В1. Цю ознаку рівності називають — рівність за стороною та двома прилеглими до неї кутами.
Друга ознака рівності трикутників доводиться аналогічно першій за допомогою конструювання (ми не можемо змінити довжини інших двох сторін та величину кута між ними, якщо вже маємо фіксовану довжину однієї сторони та величини прилеглих кутів).
2 ознака рівності трикутників широко використовується в математиці для побудови трикутників за однією відомою стороною та двома кутами. В повсякденному житті — в проектуванні, складанні меблів, побудові викрійки для шиття.
Найбільш популярні задачки на другу ознаку рівності трикутників стосуються властивостей рівнобедрених трикутників, рівності діагоналей паралелограма, задач на осьову симетрію.

Третя ознака рівності трикутників

3 ознака рівності трикутників — це рівність трикутників за трьома сторонами. Так трикутник АВС рівний трикутнику А1В1С1, якщо АВ = А1В1, ВС = В1С1 та АС = А1С1.

Доводиться третя ознака рівності трикутників за допомогою конструювання: якщо ми маємо три задані сторони, то кути між ними вже визначені. Учні закріплюють цю ознаку, будуючи трикутники за заданими трьома сторонами за допомогою циркуля.

Потрібно зауважити, що перша та друга ознаки рівності трикутників зустрічаються в подальшому навчанні (доведення теорем) значно частіше, ніж третя. Тим не менш, в шкільному курсі є багато задач, де необхідно використовувати третю ознаку рівності (рівносторонні багатокутники, медіана в рівнобедреному трикутнику та інші випадки, де легко знайти/довести рівність сторін).

Ознаки рівності прямокутних трикутників

Які сторони трикутника є катетами

Катети — це сторони прямокутного трикутника, що утворюють прямий кут, а гіпотенуза — сторона протилежна до прямого кута.
Оскільки сума кутів трикутника дорівнює 180 градусів, то два інших кути прямокутного трикутника — гострі. В геометрії їх так і прийнято називати — гострі кути прямокутного трикутника.
Оскільки прямий кут у прямокутнику — найбільший, то гіпотенуза — найдовша сторона. Згадаймо, що величини сторін прямокутного трикутника пов’язані за теоремою Піфагора: квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

Скільки ознак рівності прямокутних трикутників існує

Ознак рівності прямокутних трикутників — п’ять. Ситуацію полегшує той факт, що ці ознаки не позначаються номерами, а задачі на ознаки рівності прямокутних трикутників доволі прості.
Рівність прямокутних трикутників доводиться за рівністю двох елементів. Така особливість, а також велика кількість ознак рівності пов’язана з тим, що один кут у прямокутних трикутників рівний завжди (прямий).
Тому для того, щоб довести рівність прямокутних трикутників вам потрібно довести або рівність однієї з сторон та гострого кута:
  • рівність за катетом та прилеглим до нього гострим кутом;
  • рівність за катетом та протилежним до нього гострим кутом;
  • рівність за гіпотенузою та гострим кутом;
Або рівність двох сторін
  • рівність за двома катетами;
  • рівність за катетом та гіпотенузою.
Всі ознаки рівності прямокутних трикутників легко вивести з 1, 2, 3 ознак рівності трикутників та/або теореми Піфагора (ви можете потренуватися в цьому самостійно).

Лікнеп-інтенсив: як вирішувати з дітьми “домашку” на ознаки рівності трикутників

За якими елементами можна встановити рівність трикутників

Рівність трикутників можна встановити за трьома елементами:
  • за двома сторонами та кутом між ними (перша ознака рівності трикутників)
  • за однією стороною та двома прилеглими до неї кутами (друга ознака рівності трикутників)
  • за трьома сторонами (третя ознака рівності трикутників)

Чи рівні ці трикутники, якщо рівні, то за якою ознакою

Ця закручена фраза означає, що вам треба уважно прочитати завдання, роздивитися, або накреслити самотужки описані в умові трикутники. Виявити ознаку рівності і вказати її у відповіді.
Інколи для виявлення ознак рівності доведеться повторити інші теми (властивості рівнобедрених трикутників, вертикальні кути, а також кути, що утворюються при перетині двох паралельних прямих січною).

Як довести рівність трикутників (алгоритм)

Щоб довести рівність трикутників, необхідно виявити за якою ознакою рівні трикутники. Для доведення рівності необхідно знати мінімум три елементи. Короткий алгоритм пошуку ознак рівності трикутників:
  1. Прочитайте умову і позначте відомі елементи на малюнку.
  2. Уважно розгляньте малюнок:
  • чи не має наданий трикутник/трикутники особливих властивостей (рівнобедрений, рівносторонній, прямокутний);
  • чи не мають трикутники спільних сторін;
  • чи немає в завданні вертикальних кутів;
  • чи немає кутів, що утворюються при перетині паралельних прямих січною.
  • 3.Після виявлення рівності трьох елементів наданих трикутників, визначте ознаку рівності та вкажіть її у відповіді.

Які з трикутників на малюнку рівні за першою ознакою

  • Найчастіше в таких задачках зустрічаються трикутники, де невідомий рівний елемент — вертикальний кут. Дуже рекомендуємо повторити цю тему.
Хочете нарешті, щоб дитина почала розуміти математику?
50 хвилин з професійним методистом, щоб визначити рівень, отримати корисний матеріал та рекомендації по навчанню, це повністю безкоштовно
⭐ 4.6 з 5
Google
⭐ 9.5 з 10
Enguide
⭐ 4.5 з 5
OTZOVIK-UA
_______
_______
_______

Останні матеріали:

Для дорослих
Допоможіть нам стати кращими:
Для дітей
Англійська:
Англійська:
Математика:
Наш контент
Скарги, пропозиції та відгуки надсилайте на електронну пошту antischool.help@gmail.com або в Telegram: @feedback_antischool